Math

数学优化的价值在于：你不再通过“多跑几步”来变快，而是通过发现性质直接减少搜索空间或推导答案。

很多题表面上是数组、字符串或搜索题，但如果出现这些信号，就应该往数学上想：

• 倍数、因数、余数、同余
• 进制转换、位运算
• 概率、期望、计数公式
• 数列递推、周期性、闭式表达

What This Section Solves

• 用数论性质替代枚举
• 用位运算和进制技巧压缩状态表达
• 用组合计数或概率推导减少暴力
• 用递推关系快速计算序列问题

Topic Map

• 因数: 质因数、约数分解、整除关系
• 余数: 同余、模运算、余数分类
• 二进制: 位运算、状态表达、bit trick
• 进制: 进制转换与字符串数值处理
• 运算: 快速幂、快速乘、基础算术技巧
• 数列: 递推、周期、常见序列问题
• 概率: 概率、期望、随机过程
• 其他: 放暂时不适合单独归类但明显偏数学的技巧

Typical Signals

• n 很大，线性或平方枚举明显不可行
• 问题里存在周期、对称、整除、取模
• 题目答案不需要构造过程，只要最终值
• 搜索或 DP 看起来太重，但状态有强数学约束

Common Patterns

• O(log n): 快速幂、GCD、矩阵快速幂
• O(sqrt n): 试除因子、分解质因数
• mod 分类: 余数桶、同余合并
• bit trick: lowbit、枚举子集、状态压缩

How It Connects to Other Sections

• 很多数学技巧会直接把 Optimization 里的暴力降维。
• 位运算和进制问题也经常反向服务于 Dynamic Programming。
• 当你发现搜索只是在“验证数学性质”，往往说明应该先回到这里。